MODUL PENEARALAN MATEMATIKA UTBK-SNBT 2026

Topik: Optimasi Biaya dan Laba Sederhana

Daftar Isi

1. Tujuan Pembelajaran
2. Konsep Dasar: Biaya, Pendapatan, dan Laba
3. Pembuatan Model Matematis
4. Strategi Optimisasi Sederhana
5. Contoh Soal Pembahasan (Orisinal)
6. Latihan Mandiri
7. Kunci Jawaban dan Pembahasan
8. Ringkasan Konsep Esensial (Cheat Sheet)
9. Tips HOTS (High Order Thinking Skills)

1. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari modul ini, peserta didik diharapkan mampu:

• Membedakan biaya tetap, biaya variabel, dan biaya total.
• Menyusun fungsi biaya, fungsi pendapatan, dan fungsi laba berdasarkan kasus usaha sederhana.
• Menentukan titik impas (break-even point).
• Menyelesaikan masalah optimisasi biaya minimum atau laba maksimum dengan batasan sederhana.
• Menganalisis domain variabel (jumlah barang biasanya bilangan bulat non-negatif).

2. Konsep Dasar: Biaya, Pendapatan, dan Laba

Dalam pengambilan keputusan usaha skala kecil, kita memodelkan hubungan antara jumlah barang yang diproduksi atau dijual (dinotasikan dengan x) dengan keuangan usaha.

2.1 Komponen Biaya

2.2 Pendapatan dan Laba

• Pendapatan Total R(x): Hasil penjualan sebelum dikurangi biaya.

R(x) = px

dengan p = harga jual per unit.

• Laba Total L(x): Pendapatan dikurangi biaya total.

L(x) = R(x) - C(x) = px - (b + mx) = (p - m)x - b

• Titik Impas (Break-even Point): Kondisi di mana laba nol (tidak untung, tidak rugi).

L(x) = 0 \implies (p - m)x = b \implies x_{impas} = \frac{b}{p - m}

Syarat: p > m (harga jual lebih besar dari biaya variabel per unit). Jika p \le m, usaha akan selalu rugi seiring bertambahnya produksi.

3. Pembuatan Model Matematis

Langkah umum dalam menyusun model optimisasi sederhana:

1. Tentukan variabel: Misalkan x = banyaknya unit barang yang diproduksi/dijual.
2. Identifikasi parameter: Tetapkan b (biaya tetap), m (biaya variabel/unit), dan p (harga jual/unit).
3. Tuliskan fungsi laba: L(x) = (p - m)x - b.
4. Daftarkan batasan (constraint): Misalnya kapasitas produksi, modal tersedia, atau permintaan. Contoh: 0 \le x \le x_{maks} dan C(x) \le Modal.
5. Tentukan objektif: Maksimalkan L(x) atau minimalkan C(x) pada domain yang memenuhi batasan.

4. Contoh Soal Pembahasan (Orisinal)

Contoh 1: Titik Impas

Soal:

Seorang pedagoga keripik ikan memproduksi keripik dalam kotak kecil. Biaya tetap untuk sewa alat cetak per hari adalah Rp 120.000. Biaya variabel untuk setiap kotak sebesar Rp 8.000. Setiap kotak dijual seharga Rp 20.000. Tentukan titik impas produksi per hari.

Pembahasan:

Diketahui:

• b = 120.000
• m = 8.000
• p = 20.000

Gunakan rumus titik impas:

x_{impas} = \frac{b}{p - m} = \frac{120.000}{20.000 - 8.000} = \frac{120.000}{12.000} = 10

Jawab: Pedagoga harus memproduksi dan menjual 10 kotak per hari untuk mencapai titik impas. Di bawah 10 kotak, usaha merugi; di atas 10 kotak, mulai untung.

Contoh 2: Optimisasi Laba dengan Batasan

Soal:

Toko bunga "Melati Segar" menyusun rangkaian bunga spesial. Biaya sewa tempat per hari adalah Rp 150.000. Biaya bahan untuk setiap rangkaian adalah Rp 45.000, dan setiap rangkaian dijual seharga Rp 90.000. Kapasitas pembuatan toko maksimal 25 rangkaian per hari. Selain itu, modal harian yang tersedia untuk biaya total maksimal Rp 2.400.000. Tentukan jumlah rangkaian yang harus diproduksi untuk menghasilkan laba maksimum per hari, serta hitung besarnya laba maksimum.

Pembahasan:

Langkah 1: Fungsi laba

L(x) = (90.000 - 45.000)x - 150.000 = 45.000x - 150.000

Karena kemiringan positif (45.000 > 0), laba semakin meningkat seiring bertambahnya x.

Langkah 2: Batasan (constraint)

a) Kapasitas produksi: x \le 25

b) Modal biaya total: C(x) = 150.000 + 45.000x \le 2.400.000

45.000x \le 2.250.000 \implies x \le 50

Gabungkan semua batasan dengan x \ge 0 dan x bilangan bulat:

0 \le x \le 25$ (karena batas kapasitas lebih ketat dari batas modal)

Langkah 3: Optimisasi

Karena L(x) naik, maksimum tercapai pada x terbesar, yaitu x = 25.

L(25) = 45.000(25) - 150.000 = 1.125.000 - 150.000 = 975.000

Jawab: Jumlah optimum adalah 25 rangkaian per hari, dengan laba maksimum Rp 975.000 per hari.

5. Latihan Mandiri

Soal 1

Seorang penjahit kaos olahraga menyewa mesin jahit dengan biaya tetap Rp 200.000 per bulan. Setiap kaos membutuhkan bahan seharga Rp 35.000, dan setiap kaos dijual seharga Rp 75.000. Berapa banyak minimum kaos yang harus terjual agar penjahit tidak mengalami kerugian (titik impas)?

Soal 2

Sebuah bengkel service motor memiliki biaya operasional tetap Rp 600.000 per hari. Setiap layanan service membutuhkan biaya suku cadang sebesar Rp 120.000, dan dikenakan biaya jasa sebesar Rp 250.000 per motor. Bengkel dapat melayani maksimal 8 motor per hari. Modal harian untuk biaya total maksimal Rp 3.000.000. Tentukan jumlah motor yang harus dilayani agar laba harian maksimum, dan hitung besarnya laba tersebut.

Soal 3

Seorang petani budidaya jamur tiram menyiapkan ruang kultur dengan biaya sewa tetap Rp 500.000 per siklus. Setiap kaleng jamur membutuhkan biaya bibit dan benih sebesar Rp 15.000, dan setiap kaleng dijual seharga Rp 28.000. Ruang kultur dapat menampung maksimal 200 kaleng, sementara modal untuk biaya bibit (biaya variabel) hanya cukup untuk 180 kaleng (biaya tetap tidak termasuk dalam pembatasan modal bibit ini). Tentukan jumlah kaleng optimum untuk memaksimalkan laba, dan hitung laba maksimum.

6. Kunci Jawaban dan Pembahasan Latihan

Jawaban Soal 1

Diketahui b = 200.000, m = 35.000, p = 75.000.

x_{impas} = \frac{200.000}{75.000 - 35.000} = \frac{200.000}{40.000} = 5

Jawab: Minimal 5 kaos harus terjual untuk mencapai titik impas.

Jawaban Soal 2

b = 600.000, m = 120.000, p = 250.000.

Fungsi laba: L(x) = (250.000 - 120.000)x - 600.000 = 130.000x - 600.000.

Batasan:

• a) x \le 8 (kapasitas bengkel)
• b) C(x) = 600.000 + 120.000x \le 3.000.000

120.000x \le 2.400.000 \implies x \le 20

Batasan yang lebih ketat adalah x \le 8. Karena L(x) fungsi naik, optimum pada x = 8.

L(8) = 130.000(8) - 600.000 = 1.040.000 - 600.000 = 440.000

Jawab: Melayani 8 motor, laba maksimum Rp 440.000.

Jawaban Soal 3

b = 500.000, m = 15.000, p = 28.000.

Fungsi laba: L(x) = (28.000 - 15.000)x - 500.000 = 13.000x - 500.000.

Batasan:

• a) Kapasitas ruang: x \le 200
• b) Modal bibit: x \le 180

Batas yang lebih ketat: x \le 180. Karena L(x) naik, optimum x = 180.

L(180) = 13.000(180) - 500.000 = 2.340.000 - 500.000 = 1.840.000

Jawab: Produksi 180 kaleng, laba maksimum Rp 1.840.000 per siklus.

7. Ringkasan Konsep Esensial (Cheat Sheet)

8. Tips HOTS untuk UTBK-SNBT 2026

1. Standardisasi Satuan: Soal sering bercampur satuan ribuan, jutaan, atau satuan lain. Ubah semua parameter menjadi satu satuan sebelum substitusi ke rumus.
2. Cermati Lokasi Batasan Modal: Batasan modal terkadang hanya berlaku untuk biaya variabel, tidak selalu biaya total. Baca kalimat soal dengan teliti.
3. Total vs. Marginal: UTBK reasoning biasanya menanyakan keuntungan total, bukan keuntungan per unit. Jangan salah menganggap margin per unit sebagai laba total.
4. Domain Diskret: Jumlah barang tidak boleh pecahan (misalnya tidak bisa menjual 10,5 baju). Jika hasil perhitungan berbentuk desimal, bulatkan sesuai konteks (untuk titik impas, bulatkan ke atas agar tidak rugi).
5. Bandikan Semua Batasan: Tentukan batasan terpendek (tightest constraint) sebelum mencari optimum. Nilai optimum sering terdapat di ujung domain feasible, bukan sekadar tebakan.
6. Visualisasi Garis Lurus: Bayangkan L(x) sebagai garis lurus di koordinat Cartesian. Jika gradien positif, maksimum ada di ujung kanan domain; jika gradien negatif, maksimum ada di ujung kiri.

Selamat belajar! Semoga modul ini memperkuat pemahaman konsep dan kesiapan Anda menghadapi subtes Penalaran Matematika UTBK-SNBT 2026.